Cours de Mathématiques : Dérivées

1. Définition

La dérivée d'une fonction mesure la variation de cette fonction par rapport à la variation de sa variable. Si f(x) est une fonction, sa dérivée est notée f'(x) et se définit par :

f'(x) = lim (h → 0) [(f(x + h) - f(x)) / h]

2. Interprétation Géométrique

La dérivée représente la pente de la tangente à la courbe au point (x, f(x)).

Si f'(x) > 0, la fonction est croissante en x. Si f'(x) < 0, elle est décroissante.

3. Règles de Dérivation

• Règle de la constante : Si f(x) = c, alors f'(x) = 0.
• Règle de la puissance : Si f(x) = x^n, alors f'(x) = nx^{n-1}.
• Règle de la somme : Si f(x) = g(x) + h(x), alors f'(x) = g'(x) + h'(x).
• Règle du produit : Si f(x) = g(x)h(x), alors f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x).
• Règle du quotient : Si f(x) = g(x)/h(x), alors f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / (h(x))^2.

4. Exemples

Exemple 1

Soit la fonction f(x) = 3x^2 + 2x - 5.

• En utilisant la règle de la puissance, nous avons :

f'(x) = 6x + 2

Exemple 2

Soit la fonction g(x) = x^3 - 4x^2 + x + 1.

• En appliquant la règle de dérivation :

g'(x) = 3x^2 - 8x + 1

5. Applications des Dérivées

Les dérivées sont utilisées pour :

• Déterminer les points critiques (maximums et minimums).
• Étudier la concavité d'une fonction.
• Résoudre des problèmes de optimisation.