Cours de Mathématiques : Fonctions Quadratiques

1. Définition

Une fonction quadratique est une fonction de la forme :

f(x) = ax² + bx + c

où a, b, et c sont des constantes et a ≠ 0.

2. Propriétés

• La courbe représentative d'une fonction quadratique est une parabole.
• Le coefficient a détermine l'orientation de la parabole (ouverte vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0).
• Le sommet de la parabole est donné par les formules :
• Coordonnée x : x_s = -b/(2a)
• Coordonnée y : y_s = f(x_s) = c - (b²/(4a))

3. Étude du signe

Pour étudier le signe de la fonction, on résout l'équation :

ax² + bx + c = 0

Les solutions sont données par la formule du discriminant :

Δ = b² - 4ac

• Si Δ > 0, la fonction a deux racines réelles distinctes.
• Si Δ = 0, la fonction a une racine réelle double.
• Si Δ < 0, la fonction n'a pas de racine réelle.

4. Exemples

Exemple 1

Soit la fonction f(x) = 2x² - 4x + 1.

• a = 2, b = -4, c = 1
• Calculons le discriminant : Δ = (-4)² - 4 * 2 * 1 = 16 - 8 = 8.
• Comme Δ > 0, la fonction a deux racines.