Cours de Mathématiques : Systèmes d'Équations

1. Définition

Un système d'équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations que l'on souhaite résoudre simultanément. Les solutions du système sont les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système.

2. Types de Systèmes

• Système linéaire : Un système d'équations où chaque équation est de degré 1.
• Système non linéaire : Un système d'équations où au moins une équation est de degré supérieur à 1.

3. Méthodes de Résolution

3.1. Méthode de substitution

Dans cette méthode, on exprime une variable en fonction des autres et on remplace cette expression dans les autres équations.

3.2. Méthode d'élimination

Cette méthode consiste à additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable, puis à résoudre le système réduit.

3.3. Représentation graphique

On peut tracer les équations sur un graphique. Les points d'intersection des droites représentent les solutions du système.

4. Exemples

Exemple 1 : Système Linéaire

Résolvons le système suivant :

2x + 3y = 6
x - y = 1

• Utilisons la méthode de substitution :
• De la deuxième équation, on a x = y + 1.
• Remplaçons dans la première équation :

2(y + 1) + 3y = 6

• Résolvons pour y.

Exemple 2 : Système Non Linéaire

Considérons le système suivant :

x² + y² = 25
y = x - 3

• Substituons y dans la première équation :

x² + (x - 3)² = 25

• Résolvons pour x et ensuite pour y.

5. Conclusion

Les systèmes d'équations sont un outil puissant pour résoudre des problèmes complexes en mathématiques. Ils sont utilisés dans de nombreux domaines, y compris l'économie, l'ingénierie et les sciences.