Les nombres complexes sont une extension des nombres réels. Ils permettent de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans les nombres réels.
Un nombre complexe est de la forme z = a + bi, où :
a est la partie réelle,b est la partie imaginaire,i est l'unité imaginaire, telle que i² = -1.Les nombres complexes peuvent être représentés dans le plan complexe. L'axe horizontal représente la partie réelle, tandis que l'axe vertical représente la partie imaginaire.
Le module d'un nombre complexe z = a + bi est donné par :
|z| = √(a² + b²)
Pour deux nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di, la somme est :
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
La différence est exprimée par :
z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i
Le produit est donné par :
z1 × z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Pour diviser z1 par z2, on utilise la forme conjuguée :
z1 / z2 = (z1 × z2*) / (z2 × z2*), où z2* = c - di est le conjugué de z2.
Considérons les nombres complexes z1 = 2 + 3i et z2 = 1 - 4i.
z1 + z2 = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - iz1 × z2 = (2 × 1 - 3 × -4) + (2 × -4 + 3 × 1)i = 14 - 5iLes nombres complexes sont essentiels en mathématiques et en physique, permettant de résoudre des problèmes qui seraient impossibles à traiter avec des nombres réels seuls.