Cours de Mathématiques - Terminale

Séries et Suites

Introduction

Les suites et les séries sont des concepts fondamentaux en mathématiques, utilisés pour modéliser des phénomènes variés tels que la croissance, le déclin, et les phénomènes cycliques.

Suites

Une suite est une liste ordonnée de nombres, appelés termes. Une suite est généralement notée (u_n).

Types de Suites

• Suite Arithmétique : Chaque terme est obtenu en ajoutant un même nombre (appelé raison) au terme précédent. Par exemple : u_n = u_1 + (n - 1)r.
• Suite Géométrique : Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre (appelé raison). Par exemple : u_n = u_1 \times r^{(n-1)}.

Exemples de Suites

Considérons les suites suivantes :

• Suite arithmétique : u_n = 2 + (n - 1) × 3 (premier terme u_1 = 2, raison r = 3)
• Suite géométrique : u_n = 5 × 2^{(n-1)} (premier terme u_1 = 5, raison r = 2)

Séries

Une série est la somme des termes d'une suite. On note la série associée à la suite (u_n) par S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n.

Types de Séries

• Série Arithmétique : Somme des termes d'une suite arithmétique.
• Série Géométrique : Somme des termes d'une suite géométrique.

Formules de Somme

Pour une suite arithmétique, la somme des n premiers termes est donnée par :

S_n = \frac{n}{2} × (u_1 + u_n).

Pour une suite géométrique, la somme des n premiers termes est donnée par :

S_n = u_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r}, \, (r \neq 1).

Exemple de Séries

Calculons la somme des 5 premiers termes de la suite arithmétique u_n = 2 + (n - 1) × 3.

• u_1 = 2, u_2 = 5, u_3 = 8, u_4 = 11, u_5 = 14
• S_5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40

Conclusion

Les suites et les séries sont des outils puissants en mathématiques. Leur compréhension est essentielle pour résoudre des problèmes complexes et modéliser des phénomènes variés.